La paradoxa d'Aquil·les i la tortuga, proposada per l'antic filòsof grec Zenó, desafia el sentit comú. Afirma que l'atlètic Aquil·les mai s'aconseguirà amb la tortuga maldestra si comença el seu moviment abans que ell. Aleshores, què és: sofisme (un error deliberat en la prova) o una paradoxa (una afirmació que té una explicació lògica)? Intentem entendre aquest article.
Qui és Zenon?
Zeno va néixer cap al 488 aC a Elea (actual Velia), Itàlia. Va viure diversos anys a Atenes, on va dedicar tota la seva energia a explicar i desenvolupar el sistema filosòfic de Parmènides. Els escrits de Plató se sap que Zenó era 25 anys més jove que Parmènides i va escriure una defensa del seu sistema filosòfic a una edat molt primerenca. Encara que poc s'ha salvat dels seus escrits. La majoria de nos altres coneixem d'ell només pels escrits d'Aristòtil, i també que aquest filòsof, Zenó d'Elea, és famós per la seva filosofia filosòfica.raonament.
Llibre de paradoxes
Al segle V aC, el filòsof grec Zenó va tractar els fenòmens del moviment, l'espai i el temps. Com es poden moure les persones, els animals i els objectes és la base de la paradoxa d'Aquil·les-tortuga. El matemàtic i filòsof va escriure quatre paradoxes o "paradoxes del moviment" que es van incloure en un llibre escrit per Zenó fa 2500 anys. Van recolzar la posició de Parmènides que el moviment era impossible. Considerarem la paradoxa més famosa: sobre Aquil·les i la tortuga.
La història és aquesta: Aquil·les i la tortuga van decidir competir a córrer. Per fer el concurs més interessant, la tortuga va avançar una mica a Aquil·les, ja que aquest últim és molt més ràpid que la tortuga. La paradoxa era que, mentre teòricament la carrera continués, Aquil·les mai s'avançaria a la tortuga.
En una versió de la paradoxa, Zeno afirma que no existeix el moviment. Hi ha moltes variacions, Aristòtil en enumera quatre, encara que essencialment es poden anomenar variacions de les dues paradoxes del moviment. Un toca el temps i l' altre l'espai.
De la física d'Aristòtil
Des del llibre VI.9 de la física d'Aristòtil pots aprendre que
En una cursa, el corredor més ràpid no pot avançar mai al més lent, ja que el perseguidor primer ha d'arribar al punt on va començar la persecució.
Així que després que Aquil·les corre durant un temps indefinit, arribarà a un puntd'on va partir la tortuga. Però exactament al mateix temps, la tortuga avançarà, arribant al següent punt del seu camí, de manera que Aquil·les encara ha d'aconseguir la tortuga. De nou avança, apropant-se força ràpidament al que ocupava la tortuga, de nou "descobreix" que la tortuga s'ha arrossegat una mica cap endavant.
Aquest procés es repeteix sempre que vulguis repetir-lo. Com que les dimensions són una construcció humana i, per tant, infinites, mai arribarem al punt en què Aquil·les derroti la tortuga. Aquesta és precisament la paradoxa de Zenó sobre Aquil·les i la tortuga. Seguint un raonament lògic, Aquil·les mai no podrà posar-se al dia amb la tortuga. A la pràctica, és clar, el velocista Aquil·les passarà davant de la tortuga lenta.
Significat de la paradoxa
La descripció és més complexa que la paradoxa real. Per això molta gent diu: "No entenc la paradoxa d'Aquil·les i la tortuga". És difícil percebre amb la ment allò que en realitat no és obvi, però és evident tot el contrari. Tot està contingut en l'explicació del problema en si. Zenó demostra que l'espai és divisible, i com que és divisible, no es pot arribar a un punt determinat de l'espai quan un altre s'ha mogut més lluny d'aquest punt.
Zeno, donades aquestes condicions, demostra que Aquil·les no pot posar-se al dia amb la tortuga, perquè l'espai es pot dividir infinitament en parts més petites, on la tortuga sempre formarà part de l'espai del davant. També cal tenir en compte que si bé el temps és un moviment, comaixò és el que va fer Aristòtil, els dos corredors es mouran indefinidament, quedant així estacionaris. Resulta que Zenon té raó!
La solució a la paradoxa d'Aquil·les i la tortuga
Paradox mostra la discrepància entre com pensem el món i com és el món en realitat. Joseph Mazur, professor emèrit de matemàtiques i autor de Símbols il·lustrats, descriu la paradoxa com un "truc" que et fa pensar en l'espai, el temps i el moviment de manera equivocada.
Després ve la tasca de determinar què passa exactament amb el nostre pensament. El moviment és possible, per descomptat, un corredor humà ràpid pot superar una tortuga en una cursa.
La paradoxa d'Aquil·les i la tortuga en termes matemàtics és la següent:
- Suposant que la tortuga estigui 100 metres per davant, quan Aquil·les hagi caminat 100 metres, la tortuga estarà 10 metres per davant seu.
- Quan arribi aquests 10 metres, la tortuga estarà 1 metre per davant.
- Quan arribi a 1 metre, la tortuga estarà 0,1 metres per davant.
- Quan arribi a 0,1 metres, la tortuga estarà 0,01 metres per davant.
Així que en el mateix procés, Aquil·les patirà innombrables derrotes. Per descomptat, avui sabem que la suma de 100 + 10 + 1 + 0, 1 + 0, 001 + …=111, 111 … és el nombre exacte i determina quan Aquil·les guanya la tortuga.
A l'infinit, no més enllà de
La confusió creada per l'exemple de Zeno va ser principalment a partir d'un nombre infinit de puntsobservacions i posicions a les quals Aquil·les va haver d'arribar primer mentre la tortuga es movia constantment. Per tant, a Aquil·les seria gairebé impossible avançar a la tortuga, i molt menys avançar-la.
En primer lloc, la distància espacial entre Aquil·les i la tortuga és cada cop més petita. Però el temps necessari per cobrir la distància disminueix proporcionalment. El problema creat de Zenó condueix a l'expansió dels punts de moviment fins a l'infinit. Però encara no hi havia cap concepte matemàtic.
Com sabeu, només a finals del segle XVII, va ser possible trobar una solució matemàticament justificada a aquest problema en càlcul. Newton i Leibniz es van apropar a l'infinit amb enfocaments matemàtics formals.
El matemàtic, lògic i filòsof anglès Bertrand Russell va dir que "… Els arguments de Zeno d'una forma o una altra van proporcionar la base de gairebé totes les teories de l'espai i l'infinit proposades en el nostre temps fins als nostres dies…"
És un sofisme o una paradoxa?
Des del punt de vista filosòfic, Aquil·les i la tortuga són una paradoxa. No hi ha contradiccions ni errors en el raonament. Tot es basa en l'establiment d'objectius. Aquil·les tenia l'objectiu de no posar-se al dia i avançar, sinó posar-se al dia. Establiment d'objectius: posar-se al dia. Això mai permetrà que l'Aquil·les de peus ràpids avança o avança la tortuga. En aquest cas, ni la física amb les seves lleis ni les matemàtiques poden ajudar a Aquil·les a superar aquesta criatura lenta.
Gràcies a aquesta paradoxa filosòfica medieval,que Zeno va crear, podem concloure: cal establir l'objectiu correctament i anar cap a ell. En un esforç per posar-se al dia amb algú, sempre romandreu en segon lloc, i fins i tot en el millor dels casos. Sabent quin objectiu es marca una persona, es pot dir amb confiança si l'aconseguirà o perdrà el seu temps, recursos i energia.
A la vida real, hi ha molts exemples de fixació d'objectius incorrectes. I la paradoxa d'Aquil·les i la tortuga serà rellevant mentre existeixi la humanitat.
